平たく言うと
取引内容が書き込まれているデータベース（ブロックチェーン）があるのだが
取引所からあなたのアドレスへ送金する場合
取引所が数量とあなたのアドレスをブロックチェーンに書き込むように指示を出す
それでブロックチェーンに君のアドレスと数量が記録される

では、君がそのアドレスの所有者だと分かる方法は？
それは唯一秘密鍵を持つものがその所有者だと証明されるような仕組みになっている。
なぜならアドレス（公開鍵）と秘密鍵はセットで生成される

取引所というかブロックチェーンに書き込む段階ででも
そのアドレスが今生成されて存在しているアドレスなのか存在していないアドレスなのかは関知せずに書き込む
それは君のオフラインパソコンで生成されたアドレスでも同じ

って感じかな